Niveles de contaminacion (aplicacion de derivadas, Maximos y minimos)

Para resolver el problema planteado en la imagen:

a) El máximo nivel de contaminación se alcanzará en el año que corresponde al punto crítico de la función $�(�)$. El punto crítico se encuentra cuando $�=10$ años después del año 2000, es decir, en el año 2010. (PARA ESTO HAY QUE HACER LA PRIMERA DERIVADA)

b) El nivel de contaminación será nulo en los años en que $�(�)=0$. Esto ocurre cuando $�=-5$ y $�=25$, sin embargo, $�=-5$ no es una solución válida ya que estamos considerando el tiempo transcurrido desde el año 2000. Por lo tanto, el nivel de contaminación será nulo en el año 2025. (REEMPLAZAR C(t) con 0)

c) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $�(�)$ en $�=8$ años es 0.8. Esto significa que en el octavo año, la tasa de cambio de la contaminación respecto al tiempo es positiva, lo que indica que el nivel de contaminación está aumentando a una tasa de 0.8 unidades por año en ese momento.

Yo: Elabora la grafica para los niveles de contaminacion y tambien la recta tangente. Genera los scripts para python

En la gráfica se muestra la función de los niveles de contaminación

$�(�)$ en azul, que representa cómo cambia el nivel de contaminación con el tiempo desde el año 2000. Además, se muestra la recta tangente en rojo punteado, la cual toca la curva en $�=8$ años (el año 2008), indicado por el punto verde. La pendiente de esta recta tangente es 0.8, lo que indica que en ese año, la tasa de aumento de la contaminación es de 0.8 unidades por año.

Scripts en Python

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# Definir la función de contaminación C(t) y su derivada

def C(t):

return -0.2 * t**2 + 4 * t + 25

def C_prime(t):

return -0.4 * t + 4

# Crear un rango de valores de t desde 0 hasta 25

t_values = np.linspace(0, 25, 100)

C_values = C(t_values)

# Calcular la recta tangente en t=8

t_tangent = 8

C_tangent = C(t_tangent)

slope_tangent = C_prime(t_tangent)

# Ecuación de la recta tangente: y = m(x - x1) + y1

def tangent_line(t):

return slope_tangent * (t - t_tangent) + C_tangent

tangent_values = tangent_line(t_values)

# Graficar la función de contaminación y la recta tangente

plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.plot(t_values, C_values, label='Niveles de Contaminación C(t)', color='blue')

plt.plot(t_values, tangent_values, label='Recta Tangente en t=8', color='red', linestyle='--')

plt.scatter(t_tangent, C_tangent, color='green', zorder=5) # Punto de tangencia

# Añadir detalles a la gráfica

plt.title('Niveles de Contaminación y Recta Tangente')

plt.xlabel('Años desde el 2000')

plt.ylabel('Nivel de Contaminación')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

Yo: Elabora la grafica para los niveles de contaminacion y tambien la recta tangente en el maximo nivel de contaminacion. Genera los scripts para python

La gráfica muestra la curva de los niveles de contaminación $�(�)$ en azul, y la recta tangente en el punto máximo de contaminación en rojo punteado. El punto máximo de contaminación ocurre en el año 2010, que es 10 años después del año 2000. La recta tangente en este punto es horizontal, lo cual es consistente con ser un punto máximo, ya que la pendiente de la recta tangente (la derivada de la función en ese punto) es cero

Scripts

# Para graficar la función de contaminación y la recta tangente en el máximo nivel de contaminación

# Calcular la recta tangente en el punto crítico donde t = 10 (máximo nivel de contaminación)

t_tangent_max = 10

C_tangent_max = C(t_tangent_max)

slope_tangent_max = C_prime(t_tangent_max)

# Ecuación de la recta tangente en el máximo: y = m(x - x1) + y1

def tangent_line_max(t):

return slope_tangent_max * (t - t_tangent_max) + C_tangent_max

tangent_values_max = tangent_line_max(t_values)

# Graficar la función de contaminación y la recta tangente en el máximo

plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.plot(t_values, C_values, label='Niveles de Contaminación C(t)', color='blue')

plt.plot(t_values, tangent_values_max, label='Recta Tangente en el Máximo', color='red', linestyle='--')

plt.scatter(t_tangent_max, C_tangent_max, color='green', zorder=5) # Punto de tangencia en el máximo

# Añadir detalles a la gráfica

plt.title('Niveles de Contaminación y Recta Tangente en el Máximo')

plt.xlabel('Años desde el 2000')

plt.ylabel('Nivel de Contaminación')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

Yo: Calcula paso a paso el inciso c.

La derivada de la función de contaminación $�(�)$ con respecto al tiempo $�$ es $4-0.4�$.

Para calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $�(�)$ en $�=8$ años, evaluamos la derivada en ese punto:

${\frac{��}{��}\mid }_{�=8}=4-0.4\cdot 8=0.8$

La pendiente de la recta tangente a la curva en $�=8$ años es $0.8$. Esto significa que, en el año 2008, la tasa de cambio del nivel de contaminación con respecto al tiempo es de 0.8 unidades por año. En términos prácticos, esto indica que en ese año, el nivel de contaminación estaba aumentando.